# Důkaz věty o implicitních funkcích
Značení: Máme $n$ rovnic  o $m + n$ neznámých, tak, jak to máme v poznámce o [[Implicitní funkce určené soustavou rovnic|implicitních funkcích určených soustavou rovnic]]:

$$
\begin{align}
f_{1}\left(x_{1}, \ldots, x_{m}, y_{1}, \ldots, y_{n}\right) &= 0, \\
&\space\space\vdots \\
f_{n}\left(x_{1}, \ldots, x_{m}, y_{1}, \ldots, y_{n}\right) &= 0,
\end{align}
$$

kde $f_1, \ldots, f_n$ jsou [[Reálná funkce|reálné funkce]].  Dále $a \in \mathbb{R}^m, b \in \mathbb{R}^n$ a $f = (f_1\ \ldots, f_n)$ je [[Zobrazení]] definované na [[Okolí a prstencové okolí v Rn|okolí]] bodu $(a, b) \in \mathbb{R}^{m + n}$ s hodnotami v $\mathbb{R}^n$. 

## Znění důkazu pro k = m = n = 1

BÚNO nechť $(a, b) = (0, 0)$ a $\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)>0$.

Z předpokladu **(1)** věty je $f(a, b) = f(0, 0) = 0$.

Z předpokladu **(2)** věty jsou [[Parciální derivace]] funkce $f$ [[Spojitost|spojité]] a tedy existuje $\varepsilon>0$ takové, že $\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)>0$ na [[Okolí a prstencové okolí v Rn|okolí]] $U_\varepsilon(0, 0)$. Pro $\Delta := \varepsilon/2$ je tím pádem

$$
f(0,-\Delta)<f(0,0)=0<f(0, \Delta),
$$

protože funkce jedné proměnné s kladnou derivací musí být rostoucí. 

Protože [[Parciální derivace implikují totální diferenciál]], má $f$ v bodě $(a, b)$ [[Totální diferenciál]], a díky věty o [[Věta o souvislosti spojitosti s totálním diferenciálem|souvislosti spojitosti s existencí totálního diferenciálu]] je tedy $f$ [[Spojitost|spojitá]]. 

Na nějakém okolí bodu $(0, -\Delta)$ bude tedy $f$ záporná a podobně na nějakém okolí bodu $0, \Delta$ bude kladná — jinými slovy, existuje $\delta > 0$ takové, že pro každé $x \in (-\delta, \delta)$ platí $f(x, -\Delta) < 0$ a $f(x, \Delta)>0$, přičemž funkce $f(x, \cdot)$ je rostoucí na $[-\Delta, \Delta]$. 

 Podle [[Věta o nabývání mezihodnot|věty o nabývání mezihodnot]] pak existuje právě jedno $y(x) \in (-\Delta, \Delta)$ takové, že $f(x, y(x))=0$, viz obrázek.

![[Obrázek k větě o implicitních funkcích.png]]

Tímto jsme tedy našli zobrazení $x \mapsto y(x)$, pro které platí $f(x, y(x)) = 0$, zbývá jen dokázat, že má žádané vlastnosti.

Ukážeme, že je $x \mapsto y(x)$ diferencovatelná na $(-\delta, \delta)$. Zvolme $x$ a $h$ tak, aby $x, x + h \in (-\delta, \delta)$. Podle [[Věta o přírustku funkce více proměnných|věty o přírůstku funkcí více proměnných]] existují body 

$$c(h), d(h) \in \left[(x, y(x)),(x+h, y(x+h))\right]$$

takové, že

$$
0=f(x+h, y(x+h))-f(x, y(x))=\frac{\partial f}{\partial x}(c(h)) h+\frac{\partial f}{\partial y}(d(h))(y(x+h)-y(x)).
$$

Po vydělení kladným výrazem $\frac{\partial f}{\partial y}(d(h))$ dostaneme

$$
y(x+h)-y(x)=-\frac{\frac{\partial f}{\partial x}(c(h))}{\frac{\partial f}{\partial y}(d(h))} h.
$$

Ze spojitosti [[Parciální derivace|parciálních derivací]] plyne jejich omezenost na $U_\varepsilon(0, 0)$, celý zlomek na pravé straně je tím pádem omezený a [[Limitní přechod|limitním přechodem]] tedy dostaneme 

$$
\lim _{h \rightarrow 0} y(x+h)=y(x).
$$

Z této limity plyne, že $y$-ová souřadnice $c(h)$ a $d(h)$, kterou je sevřená mezi $y(x)$ a $y(x + h))$ se bude s $h \to 0$ limitně blížit $y(x)$. Protože $x$-ovou souřadnici $c(h)$ a $d(h)$ vybíráme z intervalu $(x, x+h)$, ta se zase bude s $h \to 0$ limitně blížit k $x$. Dohromady tedy

$$
\lim _{h \rightarrow 0} c(h) = \lim _{h \rightarrow 0} d(h) = (x, y(x)).
$$

Konečně, použitím [[Věta o limitě složené funkce I v Rn|věty o limitě složené funkce]] dostaneme

$$
y^{\prime}(x)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{y(x+h)-y(x)}{h}=\lim _{h \rightarrow 0}-\frac{\frac{\partial f}{\partial x}(c(h))}{\frac{\partial f}{\partial y}(d(h))}=-\frac{\frac{\partial f}{\partial x}(x, y(x))}{\frac{\partial f}{\partial y}(x, y(x))},
$$

s tím, že derivace $y'$ je [[Spojitost|spojitá]], protože z předpokladu věty **(2)** jsou i [[Parciální derivace|parciální derivace]] $f$ spojité a na celém $U_\varepsilon(a,b)$ jsou parciální derivace podle $y$ kladné.

---

tagy: #analýza #důkaz #těžké 
související:
- [[Implicitní funkce určené soustavou rovnic]]
- [[Věta o implicitních funkcích]]