## Esercizio 11
>Dalla forza di Lorentz, si deducano le unità di misura di $\textbf{e}$ e $\textbf{b}$
Dividiamo la forza nei suoi due contributi. Per il solo campo elettrico: $$[N]=[C][\textbf{e}]\Rightarrow [\textbf{e}]=\frac{[N]}{[C]}$$
Per quanto riguarda il campo di induzione magnetica:$$[N]=[C]\left[\frac{m}{s}\right]+[C][\textbf{b}]\Rightarrow [\textbf{b}]=\left[\frac{N\,s}{C\,m}\right]$$
## Esercizio 13
> Dedurre le unità di misura di $\textbf{b}$ dalla [[2. Equazioni fondamentali in forma integrale#^430415|legge di Faraday - Newmann - Lenz]] sapendo che $[\textbf{e}]=\left[\frac{V}{m}\right]$
$$\oint_{l_c}\textbf{e}(\underline{r},\,t)\cdot d\textbf{l}=-\frac{d}{dt}\int_{{S_l}_c}\textbf{b}(\underline{r},\,t)\cdot\textbf{n}\,dS$$
$$\begin{split}&\left[\frac{V}{m}\right][m]=\left[\frac{b\cdot m^2}{s}\right]\\\Rightarrow \quad&[b]=\left[\frac{V\cdot s}{m^2}\right]=\frac{Wb}{m^2}=T\end{split}$$
Dove $Wb$ sono i **Weber** e $T$ è **tesla**
## Esercizio 14
> Utilizzando la [[2. Equazioni fondamentali in forma integrale#^f7d3d6|legge di Gauss per il campo elettrico]], dedurre l'unità di misura di $\epsilon_0$
$$\oint_{S_c}\textbf{e}(\underline{r},\,t)\cdot\textbf{n}\,dS=\frac{Q_{i,\,S_c}(t)}{\epsilon_0}$$
$$\begin{split}&\left[\frac{V}{m}\cdot m^2\right]=\left[\frac{C}{[\epsilon_0]}\right]\\
\Rightarrow\ \ &[\epsilon_0]=\left[\frac{C}{V\cdot m}\right]\end{split}$$
Però sappiamo che $Q=CV\Rightarrow [C]=[F][V]$ dove $F$ sono i Fahrad $\Rightarrow [F]=\frac{[C]}{[V]}$
$\Longrightarrow [\epsilon_0]=\frac{[F]}{[m]}$
## Esercizio 15
> Utilizzando la [[2. Equazioni fondamentali in forma integrale#^99fe30|legge di Ampere - Maxwell]], dedurre l'unità di misura di $\mu_0$ e di $\mu_0\epsilon_0$
$$\oint_{l_c}\textbf{b}(\underline{r},\,t)\cdot d\textbf{l}=\mu_0\,i_{{S_l}_c}(t)+\mu_0\,\epsilon_0\frac{d}{dt}\int_{{S_l}_c}\textbf{e}(\underline{r},\,t)\cdot\textbf{n}\,dS$$
$$\begin{split}&\left[\frac{Wb}{m^2}m\right]=[\mu_0][A]\\
\Rightarrow\ \ &[\mu_0]=\left[\frac{Wb}{m\cdot A}\right]=\left[\frac{V\cdot s}{m\cdot A}\right]=\left[\frac{\Omega\cdot s}{m}\right]=\left[\frac{H}{m}\right]\end{split}$$
Dove $H$ sono gli ***Henry***
Per quanto riguarda $\mu_0\epsilon_0$:$$\begin{split}&\left[\frac{Wb}{m^2}m\right]=\left[\mu_0\epsilon_0\right]\left[\frac{V}{m}m^2\right]\\\Rightarrow\ \ &[\mu_0\epsilon_0]=\left[\frac{Wb\,m}{m\,V}\right]=\left[\frac{Wb}{V}\right]\end{split}$$
## Esercizio 17
> Dato il campo vettoriale $\textbf{a}(\underline{r},\,t)=x\hat{\textbf{x}}+y\hat{\textbf{y}}+z\hat{\textbf{z}}$, si valuti il flusso uscente dal cubo di lato unitario, avente gli spigoli paralleli agli assi coordinati ed un vertice nell'origine, e che risulti essere contenuto nella regione $(x,y,z)\in[0,1]^3$.
> Si calcoli poi la divergenza del campo vettoriale dato e, infine, l'integrale di volume della divergenza
Innanzittutto, calcoliamo il flusso uscente dal cubo, ovvero $\oint_{S_c}\textbf{a}\cdot\textbf{n}\,dS$:
![[Pasted image 20220907100357 1.png]]
Notiamo che:
* Sulla faccia $z$=0, $\textbf{n}=-\hat{z}$$$\int_{S\cap z=0}\textbf{a}\cdot\textbf{n}\,dS=\int_{S\cap z=0}(x\hat{\textbf{x}}+y\hat{\textbf{y}})\cdot\hat{z}\,(-1)\,dS=0$$
* Sulla faccia $y=0,\ \textbf{n}=-\hat{y}$ $$\int_{S\cap y=0}\textbf{a}\cdot\textbf{n}\,dS=\cdots=0$$
* Sulla faccia $x=0$, analogamente, il flusso è nullo
* Sulla faccia $x=1,\ \textbf{n}=\hat{x}$$$\int_{S\cap x=1}\textbf{a}\cdot\textbf{n}\,dS=\int_{S\cap z=1}(x\hat{\textbf{x}}+y\hat{\textbf{y}}+z\hat{\textbf{z}})\cdot\hat{x}\,dS=\hat{x}\cdot\hat{x}=1$$
* Lo stesso accade sulle altre facce
Il flusso uscente, dunque, è pari alla somma di queste ed è 3
Calcoliamo ora la divergenza del campo $\textbf{a}$:$$\nabla\cdot\textbf{a}=\frac{\partial\,a_x}{\partial x}+\frac{\partial\,a_y}{\partial y}+\frac{\partial\,a_z}{\partial z}=1+1+1=3$$
Integrando sul volume, otteniamo che: $$\int_V\nabla\cdot\textbf{a}\,dV=\oint_{S_c}\textbf{a}\cdot\textbf{n}\,dS$$
## Esercizio 20
>Applicare il teorema di divergenza alla [[2. Equazioni fondamentali in forma integrale#^9b785c|quarta equazione di Maxwell in forma integrale]] e dedurre la proprietà di solenoidalità dell'induzione magnetica
Ci riferiamo a $$\oint_{S_c}\textbf{b}(\underline{r},\,t)\cdot\textbf{n}\,dS=0$$
Per il [[3. Operatori divergenza e rotore e relativi teoremi#Teorema della divergenza o di Gauss|teorema della divergenza]] sappiamo che $$\int_V\nabla\cdot\textbf{a}\,dV=\oint_{S_c}\textbf{a}\cdot\textbf{n}\,dS\quad\quad\forall S_c$$
Notiamo che nell'equazione di Maxwell si ha il secondo termine. Inuitivamente, otteniamo che $$\int_V\nabla\cdot\textbf{b}(\underline{r},\,t)\ dV=0$$Normalmente, però, se un integrale è nullo non implica che l'integranda lo sia. Per dimostrare che è così, ragioniamo per assurdo e assumiamo la continuità della divergenza di $\textbf{b}$.
Sia dato un punto nello spazio-tempo $P\in V$ tale che $\nabla\cdot\textbf{b}(P,\,t)\ne0$. Se l'andamento della divergenza fosse sinusoidale, avremmo che l'integrale sarebbe nullo nonostante in qualche punto non lo sia.
Con queste ipotesi, però, se prendessimo una superficie ${S_c}_2$ in un intorno di $(P,\,t)$ e analizzassimo l'integrale della divergenza avremmo che siccome è continua, per la permanenza del segno l'integrale sarebbe $\ne0$. Ma ciò contraddice il teorema della divergenza, che vale per qualsiasi superficie $\Rightarrow$ **assurdo**
$$\Rightarrow\nabla\cdot\textbf{b}(\underline{r},\,t)=0\quad\quad\forall S_c\ \forall t$$
## Esercizio 21
>Si consideri un punto nello spazio tempo e si assuma non siano presenti cariche punitformi né distribuzioni superficiali o lineari di cariche elettriche. Utilizzando l'equazione [[1. Carica elettrica, potenziale e forza di Lorentz#^1ac442|per calcolare la carica in una regione]], il teorema della divergenza e la legge di Gauss per il campo elettrico, la legge di Gauss in forma locale.
L'equazione indicata è $Q_{iS}=\int_V\rho_v\,dV+\int_{S_c\cap V}\rho_s\,dS+\int_{l_c\cap V}\rho_l\,dl+\sum_{i=1}^Nq_i$
Il teorema della divergenza dice che $\int_V\nabla\cdot\textbf{a}\,dV=\oint_{S_c}\textbf{a}\cdot\textbf{n}\,dS$
Infine, il teorema di Gauss in forma globale è $\oint_{S_c}\textbf{e}\cdot\textbf{n}\,dS=\frac{Q_{{int}_{S_c}}}{\epsilon_0}$
Con le ipotesi effettuate, sappiamo che $$Q_{i_S}=\int_{V}\rho_v\,dV$$
Sostituendo il risultato nel teorema di Gauss, si ottiene: $$\oint_{S_c}\textbf{e}\cdot\textbf{n}\,dS=\int_{V}\rho_v\,dV\cdot\frac{1}{\epsilon_0}$$
Applicando il teorema della divergenza, otteniamo infine $$\int_V\nabla\cdot\textbf{e}\,dV=\frac{1}{\epsilon_0}\int_V\rho_v\,dV$$
Banalmente, dunque, $$\nabla\cdot\textbf{e}=\frac{\rho_v}{\epsilon_0}$$
## Esercizio 23
>Si consideri un punto nello spazio tempo e che in un suo intorno non siano presenti cariche puntiformi né distribuzioni di carica lineari o superficiali né densità lineari di corrente elettrica né correnti elettriche filiformi. Utilizzando l'uguglianza di destra della [[1. Carica elettrica, potenziale e forza di Lorentz#Legge di conservazione della carica|legge di conservazione della carica]], la legge per calcolare la [[1. Carica elettrica, potenziale e forza di Lorentz#^35909a|corrente elettrica in presenza di densità di corrente elettrica superficiali e lineari]], la legge per trovare la carica interna e il teorema della divergenza dedurre l'equazione di continuità
Le equazioni da considerare sono:
* $i_{S}=-\frac{dQ_{i,\,S_C}}{dt}$
* $i_s=\int_S\textbf{j}\cdot\textbf{n}\,dS+\int_{S\cap S_c}\textbf{j}_s\cdot \textbf{n}_{tsc}\,dl$
* $Q_{iS}=\int_V\rho_v\,dV+\int_{S_c\cap V}\rho_s\,dS+\int_{l_c\cap V}\rho_l\,dl+\sum_{i=1}^Nq_i$
La carica interna, nelle ipotesi descritte vale:$${Q_i}_S=\int_V\rho_v\,dV$$Per le stesse ipotesi, la corrente diventa dunque $$i_s=\int_S\textbf{j}\cdot\textbf{n}\ dS$$
Applicando il teorema della divergenza, e in seguito la legge di conservazione della carica, otteniamo$$i_s=\int_S\textbf{j}\cdot\textbf{n}\ dS=\int_V\nabla\cdot\textbf{j}\ dV=-\frac{dQ_{i_S}}{dt}$$
Se sostituiamo la definizione di $Q_{i_s}$ abbiamo $$\int_V\nabla\cdot\textbf{j}\ dV=-\frac{d}{dt}\int_V\rho_v\ dV$$
Se consideriamo una superficie stazionaria nel tempo, il volume non cambia nel tempo e dunque possiamo portare la derivata all'interno dell'integrale in quanto l'unico termine che dipende dal tempo è $\rho_v$, ricordando che questa però dipende anche dallo spazio: $$\cdots=-\int_V\frac{\partial}{\partial t}(\rho_v)\ dV$$$$\begin{split}\Rightarrow &\int_V\nabla\cdot \textbf{j}+\frac{\partial\,\rho_v}{\partial\,t}\,dV=0\\\Longrightarrow\ &\nabla\cdot\textbf{j}=-\frac{\partial\,\rho_v}{\partial\,t}\end{split}$$
## Esercizio 25
>Utilizzando il teorema del rotore e la [[2. Equazioni fondamentali in forma integrale#^430415|legge di Faraday - Neumann - Lenz]], dedurre l'equazione di Maxwell di rotore in forma locale
La legge di FNL è: $\oint_{l_c}\textbf{e}(\underline{r},\,t)\cdot d\textbf{l}=-\frac{d}{dt}\int_{{S_l}_c}\textbf{b}(\underline{r},\,t)\cdot\textbf{n}\,dS$
Per il teorema del rotore, $$\oint_{l_c}\textbf{e}(\underline{r},\,t)\cdot d\textbf{l}=\int_{S_{l_c}}\nabla\times\textbf{e}\cdot\textbf{n}\ dS$$
Se assumiamo che la superficie sia stazionaria nel tempo, possiamo portare dentro l'integrale la derivata. Di conseguenza, l'unico elemento che dipende dal tempo è $\textbf{b}$ che dipende anche dallo spazio. Unendo i due risultati, abbiamo che $$\int_{S_{l_c}}\nabla\times\textbf{e}\cdot\textbf{n}\ dS=-\int_{S_{l_c}}\frac{\partial}{\partial t}\textbf{b}(\underline{r},\,t)\cdot\textbf{n}\ dS$$$$\Rightarrow \nabla\times\textbf{e}=-\frac{\partial\,\textbf{b}}{\partial\,t}$$
## Esercizio 26
>Si consideri un punto nello spazio tempo e che nel suo intorno non siano presenti densità lineari di corrente né correnti elettriche uniformi, una linea chiusa stazionaria nel tempo e una superficie che ha la linea come bordo. Utilizzando la [[2. Equazioni fondamentali in forma integrale#^99fe30|legge di Ampere - Maxwell]] e il teorema del rotore, dedurre un'altra equazione di Maxwell
L'equazione suggerita è $\oint_{l_c}\textbf{b}(\underline{r},\,t)\cdot d\textbf{l}=\mu_0\,i_{{S_l}_c}(t)+\mu_0\,\epsilon_0\frac{d}{dt}\int_{{S_l}_c}\textbf{e}(\underline{r},\,t)\cdot\textbf{n}\,dS$
In assenza di densità lineari di corrente e
Usando il teorema del rotore, abbiamo che $$\oint_{l_c}\textbf{b}(\underline{r},\,t)\cdot d\textbf{l}=\int_S\nabla\times\textbf{e}\cdot\textbf{n}\,dS$$
Inoltre, sappiamo che nelle ipotesi indicate, $$i_{S}=\int_S\textbf{j}\cdot\textbf{n}\ dS$$
Siccome la superficie considerata è stazionaria nel tempo, possiamo portare la derivata all'interno dell'integrale. Sommando tutti questi risultati, otteniamo che $$\int_S\nabla\times\textbf{b}\cdot\textbf{n}\ dS=\mu_0\int_S\textbf{j}\cdot\textbf{n}\ dS+\mu_0\,\epsilon_0\int_{S}\frac{\partial\,\textbf{e}}{\partial\,t}\ dS$$$$\Rightarrow \nabla\times\textbf{b}=\mu_0\,\textbf{j}+\mu_0\,\epsilon_0\frac{\partial\,\textbf{e}}{\partial\,t}$$
## Esercizio 28
>Sapendo che nel rame gli elettroni liberi ono circa $8.5\times10^{28}\ m^3$ e che $\sigma=5.8\times10^7\ S/cm$, determinare la mobilità dei portatori mobili di carica
Dalla [[6. Conduzione elettrica#^a054ad|teoria]] sappiamo che $$\sigma=q\,\mu_n\,n\Rightarrow\mu=\frac{\sigma}{q\,n}\approx-4.26\times10^{23}\ m^2V^{-1}s^{-1}$$
## Esercizio 29
>In un filo di rame di sezione $1\ mm^2$ scorre una corrente continua uniformemente distribuita di intensità pari ad $1\ A$. Considerando una densità $n$ di elettroni liberi pari a $8.5\times10^{28}\ m^{-3}$ si determini $|\textbf{v}_e|$
Sappiamoche per definizione $$\textbf{j}=\rho_v\,\textbf{v}=q\,n\,\textbf{v}$$
Il modulo lo possiamo trovare:$$|\textbf{j}|=\frac{1\,A}{1\,mm^2}=10^{6}\ A\,m^{-2}$$$$\Rightarrow |\textbf{v}|=\frac{|\textbf{j}|}{q\,n}\approx10^{-4}\ m\,s^{-1}$$
Notiamo come la velocità dovuta ai campi elettromagnetici sia nettamente inferiore a quella di agitazione termica, che si aggira sui $10^5$.
## Esercizio 32
>Si consideri una spira rigida, rettangolare, contenuta nel piano $(x,y)$ percorsa da una corrente elettrica continua. OLa direzione della corrente individua, con la regola della mano destra, la normale $\textbf{n}=\hat{\textbf{z}}$. Si verifichi che se tale spira viene sollecitata da un campo statico esterno di induzione magnetica $\textbf{b}$, la spira tende a ruotare in modo da allineare $\textbf{n}$ e $\textbf{b}$
Assumiamo che il campo sia, genericamente, $$\textbf{b}=b_x\,\hat{x}+b_y\,\hat{y}+b_z\,\hat{z}$$
![[Pasted image 20220907174924 1.png]]
Analizziamo la forza di Lorentz sulle cariche nel lato 1. Qui, i portatori si muovono in direzione $\hat{y}$:$$\begin{split}F_{LOR_1}&=q\,\textbf{v}\times\textbf{b}=\\&=|q\,\textbf{v}|\,\hat{y}\times(b_x\,\hat{x}+b_y\,\hat{y}+b_z\,\hat{z})=\\&=|q\,\textbf{v}|\,(-b_x\,\hat{z}+0+b_z\,\hat{x})\end{split}$$
C'è quindi una componente lungo $-\hat{z}$ e una lungo $\hat{x}$
Sul lato 2 i portatori si muovono in direzione $-\hat{x}$:$$F_{LOR_2}=\cdots=|q\,\textbf{v}|\,(0-b_y\,\hat{z}+b_z\,\hat{y})$$
C'è dunque una componente lungo $-\hat{z}$ e una lungo $\hat{y}$
Sul lato 3 i portatori si muovono in direzione $-\hat{y}$:$$F_{LOR_3}=\cdots=|q\,\textbf{v}|\,(b_x\,\hat{z}+0-b_z\,\hat{x})$$
C'è dunque una componente lungo $\hat{z}$ e una lungo $-\hat{x}$
Sul lato 4 i portatori si muovono in direzione $\hat{x}$:$$F_{LOR_4}=\cdots=|q\,\textbf{v}|\,(0+b_y\,\hat{z}-b_z\,\hat{y})$$
C'è dunque una componente lungo $\hat{z}$ e una lungo $-\hat{y}$
La forza complessiva agente sulla spira ovviamente è la somma di tutte e quattro. Notiamo però le forze lungo $\hat{x}$ e $\hat{y}$ sono sullo stesso piano, della stessa intensità ma di verso opposto e dunque si elidono. Le forze lungo $\hat{z}$ invece, non essendo allineate, **hanno un momento** che induce la rotazione della spira ad allineare $\textbf{n}$ a $\textbf{b}$.
Si evince dunque che una spira percorsa da corrente è una calamita
## Esercizio 33
>Calcolare il gradiente di $$\frac{1}{\left|(x-x')\hat{\textbf{x}}+(y-y')\hat{\textbf{y}}+(z-z')\hat{\textbf{z}}\right|^n}$$
>Rispetto alle coordinate del punto di soorgente $(x',\,y',\,z')$ e poi rispetto alle altre.
Sia $f(\underline{r},\,\underline{r'}):=\frac{1}{(\underline{r}-\underline{r'})^n}$.
Se calcoliamo il gradiente dobbiamo calcolare tutte le singole derivate parziali.
Partiamo da $x$: $$\begin{split}\frac{\partial\,f}{\partial\,x}&=\frac{\partial}{\partial x}\left[(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2\right]^{-\frac{n}{2}}=\\&=-\frac{n}{2}\left[(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2\right]^{-\frac{n}{2}-1}\cdot2(x-x')=\\&=-\frac{n(x-x')}{|\underline{r}-\underline{r}'|^{n+2}}\end{split}$$
Analogamente per $y,\ z$. Si conclude dunque che il gradiente è: $$\nabla f=-\frac{n(\underline{r}-\underline{r}')}{|\underline{r}-\underline{r'}|^{n+2}}$$
Analizziamo invece $\nabla'f$ e partiamo da $x$: $$\frac{\partial\,f}{\partial\,x'}=\cdots=\frac{n(x-x')}{|\underline{r}-\underline{r}'|^{n+2}}=-\frac{\partial\,f}{\partial\,x'}$$
L'analogo succede per tutte le altre. Pertanto, il gradiente è $$\nabla'f=\frac{n(\underline{r}-\underline{r}')}{|\underline{r}-\underline{r'}|^{n+2}}=-\nabla f$$
## Dimostrazione 1
>Si riferisce alla parte di [[8. Considerazioni per valutare gli effetti della polarizzazione elettrica#^8560f9|teoria]]
Sappiamo che $f(0)=1$. Calcoliamo $f'$: $$f'(s)=-\frac{1}{2}(1+s^2-2\,s\,cos\,\theta)^{-\frac{3}{2}}\cdot(2\,cos\,\theta-2s)=(cos\,\theta-s)\cdot(1+s^2-2\,s\,cos\,\theta)^{-\frac{3}{2}}$$$$f'(0)=cos\,\theta$$$$\begin{split}f''(s)&=-(1+s^2-2\,s\,cos\,\theta)^{-\frac{3}{2}}-\frac{3}{2}(cos\,\theta-s)(2s-2\,cos\,\theta)=\\&=-(1+s^2-2\,s\,cos\,\theta)^{-\frac{3}{2}}+3(cos\,\theta-s)^2\end{split}$$$$f''(0)=-1+3\,cos^2\,\theta$$
Di conseguenza:$$f(s)=1+s\,cos\theta+\frac{1}{2}(-1+3\,cos^2\,\theta)\,s^2+o(s^3)$$
## Esercizio 34
>Sapenod che $\nabla(f\,g)=g\,\nabla f+f\,\nabla g$, che $\nabla(\textbf{c}\cdot\underline{r})=\textbf{c}$ se $\textbf{c}$ è un vettore costante, e che $\nabla(\frac{1}{r^3})=-\frac{3\underline{r}}{r^5}$ si deduca l'espressione del campo elettrostatico prodotto da un dipolo elettrico ideale posto nell'origine
Sappiamo che $$\textbf{e}=-\nabla V=-\nabla\left(\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left(\frac{\textbf{p}\cdot\underline{r}}{r^3}\right)\right)$$
Poniamo $g=\frac{1}{r^3}$ e $f=\textbf{p}\cdot\underline{r}$ $$\Rightarrow \nabla (f\,g)=\frac{1}{r^3}\textbf{p}-\textbf{p}\cdot\underline{r}\frac{3\underline{r}}{r^5}$$$$\Longrightarrow \textbf{e}=\frac{3(\textbf{p}\cdot\underline{r})\underline{r}}{r^5}-\frac{\textbf{p}}{r^3}$$
## Esercizio 35
>Calcolare $\nabla\cdot(f\,\textbf{a})$, dove $f$ è un campo scalare e $\textbf{a}$ uno vettoriale.
$$\begin{split}\nabla\cdot(f\,\textbf{a})&=\frac{\partial}{\partial x}f\,a_x+\frac{\partial}{\partial y}f\,a_y+\frac{\partial}{\partial z}f\,a_z=\\
&=f\frac{\partial\,a_x}{\partial\,x}+a_x\frac{\partial\,f}{\partial\,x}+\cdots=\\
&=f\left(\frac{\partial\,a_x}{\partial\,x}+\frac{\partial\,a_y}{\partial\,y}+\frac{\partial\,a_z}{\partial\,z}\right)+\textbf{a}\left(\frac{\partial\,f}{\partial\,x}+\frac{\partial\,f}{\partial\,y}+\frac{\partial\,f}{\partial\,z}\right)=\\
&=f\,\nabla\textbf{a}+\nabla f\,\textbf{a}\end{split}$$
## Esercizio 36
>Una parte regolare di materia occupa un cilindro disposto lungo l'asse $z$; la sezione del cilindro sul piano $(x,y)$ è data da $x\in(0,\,a)$ e $y\in(0,b)$. dove è presente, la materia determina $\textbf{P}(\underline{r})=P_x(x)\,\hat{\textbf{x}}$ con $P_x(x=0)>0$ e $P_x(x)$ crescente con $x$. Si trovino le densità di carica equivalenti ${\rho_s}^*,\ {\rho_v}^*$
![[Pasted image 20220910171602 1.png]]
*Questo è un esempio di materia polarizzata nel vuoto*
Analizziamo qualitativamente le densità di carica superficiali. Sulla superficie a destra ci sarà una **densità negativa**, in quanto all'estremità ci sono solo cariche negative. Analogamente, sulla superficie a sinistra ci sarà una **densità positiva**.
Per quanto riguarda le altre due superfici, avremo che $\textbf{P}\perp\textbf{n}\Rightarrow\textbf{P}\cdot\textbf{n}=0$. Di conseguenza, **non ci sono distribuzioni superficiali equivalenti**.
Troviamo ora i valori giusti per gli estremi di destra e sinistra. $$\left.{\rho_s}^*\right|_{x=a}=\left.\textbf{P}\cdot\textbf{n}\right|_{x=a}=P_x(x=a)$$
Sappiamo per ipotesi che $P_x>0$, dunque ciò torna con le nostre considerazioni iniziali. $$\left.{\rho_s}^*\right|_{x=0}=\cdots=-P_x(x=0)$$*Il segno - è necessario perché in $x=0,\ \textbf{n}=-\hat{x}$*
Per quanto riguarda la densità volumetrica, $${\rho_v}^*(\underline{r})=-\nabla\cdot\textbf{P}(\underline{r})=-\frac{\partial}{\partial\,x}\textbf{P}(\underline{r})=-P_x(x)$$
Osserviamo che è **minore di zero**. Questo ha intuitivamente senso: togliamo le cariche sulle superfici e analizziamo dunque solo quelle all'interno del volume. Siccome $\textbf{P}(x)$ cresce al crescere di $x$, quando togliamo la *"prima colonna"* di cariche negative queste hanno un magnitudo di carica sicuramente inferiore rispetto all'*"ultima colonna"* di cariche positive.
Si ha dunque una maggioranza di cariche positive.
## Esercizio 49
>Si valutino qualitativamente il campo elettrico e l'induzone magnetica creati rispettivamente da un dipolo elettrico e da una spira filiforme circolare percorsa da corrente continua. Richiamando il fatto che, nei casi ideali, lo spazio interno al dipolo elettrico e alla spira filiforme è collassato, si deduca l'uguaglianza dei campi indicati, a meno di un fattore di proporzionalità. Tale uguaglianza giutifica il nome utilizzato per le spire filiformi piane *(dipoli magnetici)*
Analizzando come si diffondono le linee di campo possiamo intuire che i due campi si comportino allo stesso modo:
![[Pasted image 20220920184405 1.png]]
Ovviamente le linee di campo si sviluppano in modo speculare a destra della spira.
## Esercizio 56
>Una parte regòare di materia occupa un cilindro disposto lungo l'asse $z$; la sezione del cilindro sul piano $(x,\,y)$ è data da $x\in(0,\,a),\ y\in(0,\,b)$. Dove è presente, la materia determina $\textbf{M}(\underline{r})=M_z(x)\,\hat{\textbf{z}}$ con $M_z(x)$ crestcente al crescere di $x$. Si trovino $\textbf{j}_m(\underline{r})$ e $\textbf{j}_{m\,s}(\underline{r})$. Dare una rappresentazione qualitativa del fenomeno della polarizzazione elettrica
La situazione in cui ci troviamo è la seguente:
![[Pasted image 20220928104310 1.png]]
Dove nel disegno sono disegnati anche i cubi $\Delta V$.
Analizziamo le superfici esterne. Per quanto successo nel caso elettrostatico, possiamo dire che qui ci sarà una **densità di corrente equivalente alla polarizzazione** $\textbf{j}$ superficiale:$$\textbf{j}_{m,\,s}=\begin{cases}j_{m,\,s_{y_{x=0}}}\,\hat{\textbf{y}}&j_{m,\,s_{y_{x=0}}}<0\,costante&x=0\\j_{m,\,s_{y_{x=a}}}\,\hat{\textbf{y}}&j_{m,\,s_{y_{x=a}}}>0\ costante&x=a\\
j_{m,\,s_{x_{y=0}}}(x)\,\hat{\textbf{x}}&j_{m,\,s_{x_{y=0}}}>0\ crescente&y=0\\j_{m,\,s_{x_{y=b}}}(x)\,\hat{\textbf{x}}&j_{m,\,s_{x_{y=b}}}<0\ decrescente&y=b\end{cases}$$
I segni sono dati dalla regola della mano destra.
Analizziamo le correnti all'interno del volume.
Se prendiamo una superficie parallela a $z$, **non ci saranno correnti** $$\Rightarrow j_{m_z}=0$$
Consideriamo le superfici parallele all'asse $y$, *(segnate dalla linea rossa)*. Notiamo che c'è una freccia entrante e una uscente della stessa intensità. Ciò vuol dire che fanno entrare ed uscire lo stesso quantitativo di corrente. Di conseguenza, $S_y$ $$j_{m,\,x}=0$$
Per quanto riguarda le superfici parallele all'asse $x$, si hanno due contributi opposti. Dato però che $M_z(x)$ è crescente, uno dei due sarà preponderante. Si avrà dunque che su $S_x$, $i_S<0\Rightarrow j_{m,\,y}<0$.
Finita l'analisi qualitativa procediamo a quella quantitativa.$$\textbf{j}_{m,\,s}=\textbf{M}\times\textbf{n}$$$$\Rightarrow \textbf{j}_{m,\,s}=\begin{cases}M_z(z)\,\hat{\textbf{z}}\times(-\hat{\textbf{x}})=\cdots=-M_z(x)\,\hat{\textbf{y}}&x=0\\
M_z(x)\,\hat{\textbf{z}}\times\hat{\textbf{x}}=\cdots=M_z(x)\,\hat{\textbf{y}}&x=a\\
M_z(x)\,\hat{\textbf{z}}\times(-\hat{\textbf{y}})=\cdots=-M_z(x)\,\hat{\textbf{y}}&y=0\\M_z(x)\,\hat{\textbf{z}}\times\hat{\textbf{x}}=\cdots=-M_z(x)\,\hat{\textbf{x}}&y=b\end{cases}$$
Notiamo che ciò è coerente con l'analisi qualitativa che abbiamo fatto.
Per quanto riguarda le densità di corrente volumetrica: $$\begin{split}\textbf{j}_m(\underline{r})&=\nabla\times\textbf{M}=\left[\begin{matrix}\hat{x}&\hat{y}&\hat{z}\\\frac{\partial}{\partial\,x}&\frac{\partial}{\partial\,y}&\frac{\partial}{\partial\,z}\\0&0&M_z(x)\end{matrix}\right]=\\&=\frac{\partial}{\partial\,y}M_z(x)\,\hat{x}-\frac{\partial}{\partial\,x}\,M_z(x)\,\hat{z}\end{split}$$
$$\Rightarrow\textbf{j}_m(\underline{r})=-\frac{\partial}{\partial\,x}\,M_z(x)\,\hat{z}\ <0\ \ \ per\ Hp$$
## Esercizio 59
>Verificare che le equazioni "alle divergenze" nel dominio del tempo possono essere considerate come delle condizioni iniziali per il campo elettromagnetico se si assumono valide le equazioni "ai rotori" e l'equazione di continuità
Premessa: calcoliamo $\nabla\cdot(\nabla\times \underline{a})$. Iniziamo con $$\begin{split}\nabla\cdot\underline{a}&=\left|\begin{matrix}\hat{x}&\hat{y}&\hat{z}\\\partial x&\partial y&\partial z\\a_x&a_y&a_z\end{matrix}\right|=\frac{\partial}{\partial y}a_z\hat{x}+\frac{\partial}{\partial z}a_x\,\hat{y}+\frac{\partial}{\partial x}a_y\,\hat{z}-\frac{\partial}{\partial y}a_x\,\hat{z}-\frac{\partial}{\partial z}a_y,\,\hat{x}-\frac{\partial}{\partial x}a_z\,\hat{y}=\\&=\left(\frac{\partial}{\partial y}a_z-\frac{\partial}{\partial z}a_y\right)\hat{x}+\left(\frac{\partial}{\partial z}a_x-\frac{\partial}{\partial x}a_z\right)\hat{y}+\left(\frac{\partial}{\partial x}a_y-\frac{\partial}{\partial y}a_x\right)\hat{z}\end{split}$$Ne segue che $$\begin{split}\nabla\cdot(\nabla\times\underline{a})&=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial}{\partial y}a_z-\frac{\partial}{\partial z}a_y\right)\hat{x}+\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial}{\partial z}a_x-\frac{\partial}{\partial x}a_z\right)\hat{y}+\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{\partial}{\partial x}a_y-\frac{\partial}{\partial y}a_x\right)\hat{z}=\\&=\cancel{\frac{\partial^2}{\partial x\partial y}a_z}-\cancel{\frac{\partial^2}{\partial x\partial z}a_y}+\cancel{\frac{\partial^2}{\partial y\partial z}a_x}-\cancel{\frac{\partial^2}{\partial y\partial x}}+\cancel{\frac{\partial^2}{\partial z\partial x}a_y}-\cancel{\frac{\partial^2}{\partial z\partial y}a_z}=0\end{split}$$E dunque si ha che **il rotore restituisce sempre un campo vettoriale sinusoidale**, ovvero la cui divergenza è nulla.
### Equazione di FNL in forma locale
Iniziamo ad analizzare l'equazione di Maxwell alle divergenze $\nabla\times\textbf{e}=\frac{\partial}{\partial t}\underline{b}$ $$\Rightarrow\nabla\cdot(\nabla\times\textbf{e})=\nabla\cdot\left(\frac{\partial}{\partial t}\textbf{b}\right)=\frac{\partial}{\partial t}\left(\nabla\cdot\textbf{b}\right)=0$$Si conclude che $\boldsymbol{\nabla\cdot\textbf{b}}$ **è costante nel tempo** $\forall\,\underline{r}\in\mathbb{R}^3$ *(in qualsiasi posto)*.
Per la solenoidalità di $\textbf{b}$, sappiamo che $\nabla\cdot\textbf{b}$ dopo il big band era $0$ $$\Rightarrow \nabla\cdot\textbf{b}\equiv0\quad\forall t,\,\underline{r}$$Siccome è costante nel tempo, può essere vista come una condizione iniziale.
### Teorema di Gauss in forma locale
Osserviamo ora l'altra equazione di Maxwell alle divergenze integrata con l'equazione di continuità $\begin{cases}\nabla\times\textbf{h}=\textbf{j}_{no\,pol}+\frac{\partial}{\partial t}\textbf{d}\\\nabla\cdot\textbf{j}_{no\,pol}=-\frac{\partial}{\partial t}\rho_{v,\,lib}\end{cases}$.
Avremo che $$\nabla\cdot(\nabla\times\textbf{h})=\nabla\cdot\textbf{j}_{no\,pol}+\frac{\partial}{\partial t}\nabla\cdot\textbf{d}=0$$Notiamo però che $\nabla\cdot \textbf{j}_{no\,pol}=-\frac{\partial}{\partial t}\rho_{v,\,lib}$$$\begin{align}\Rightarrow0&=\nabla\cdot(\nabla\times\textbf{h})=-\frac{\partial}{\partial t}\rho_{v,\,lib}+\frac{\partial}{\partial t}\nabla\cdot\textbf{d}\\0&=\frac{\partial}{\partial t}(-\rho_{v,\,lib}+\nabla\cdot\textbf{d})\end{align}$$Ne segue che $$\nabla\cdot\textbf{d}-\rho_{v,\,lib}\quad\text{è costante nel tempo}$$Si ricava che **la condizione iniziale è $\boldsymbol{\nabla\cdot\textbf{d}=\rho_{v,\,lib}}$**.
## Esercizio 60
>Verificare che le equazioni alle divergenza in regime sinusoidale permanente possono essere dedotte dalle equazioni ai rotori e dall'equazione di continuità e che, in questo caso, diventano ridondanti
### Equazione di FNL in forma locale
Nel caso sinusoidale, sappiamo che $$\nabla\times\textbf{E}(\underline{r})=-j\omega\textbf{B}(\underline{r})$$Calcoliamo $\nabla\cdot(\nabla\times\textbf{E}(\underline{r}))$: $$\nabla\cdot(\nabla\times\textbf{E}(\underline{r}))=-\nabla(j\omega\textbf{B}(\underline{r}))=-j\omega\nabla\cdot\textbf{B}(\underline{r})=0$$Ma se $\omega\ne0$ $\Rightarrow\nabla\cdot\textbf{B}(\underline{r})=0$ come abbiamo già dimostrato nell'[[0. Esercizi#Equazione di FNL in forma locale|esercizio 59]] di cui sopra. Ne segue che la formulazione nel dominio dei fasori fornisce risultati medesimi a quella nel dominio del tempo; pertanto risulta ridondante.
### Teorema di Gauss in forma locale
Integriamo il teorema di Gauss in forma locale con l'equazione di continuità. In regime sinusoidale avremo che $$\begin{cases}\nabla\times\textbf{H}=\textbf{j}_{no\,pol}+j\omega\textbf{D}\\\nabla\cdot\textbf{J}_{no\,pol}=-j\omega\rho_{v,\,lib}\end{cases}$$$$\begin{align}0&=\nabla\cdot(\nabla\times\textbf{H})=\nabla\cdot\textbf{j}_{no\,pol}+j\omega\nabla\cdot \textbf{D}\\0&=-j\omega\rho_{v,\,lib}+j\omega\nabla\cdot\textbf{D}=\\&=j\omega(\nabla\cdot\textbf{D}-\rho_{v,\,lib})\end{align}$$Se $\omega\ne0$ si ha che $\nabla\cdot\textbf{D}=\rho_{v,\,lib}$ come già trovato nell'[[0. Esercizi#Teorema di Gauss in forma locale|esercizio 59]] di cui sopra. Ne segue che la formulazione nel dominio dei fasori fornisce risultati medesimi a quella nel dominio del tempo; pertanto risulta ridondante.
### Conclusione
Si conclude che in regime sinusoidale, le equazioni nel dominio del tempo danno le condizioni iniziali mentre quelle in regime sinusoidale permanente sono ridondanti.
## Esercizio 61
>Trovare $\mathbf{d}$ per un mezzo lineare ed isotropo quando $$
\mathbf{e}=\delta(\underline{r}-\underline{r}')\hat{\mathbf{\underline{r}}}\cdot\delta(t-t')\mathbf{\hat{s}}
$$*(ovvero quando $\mathbf{e}$ è impulsivo nel tempo e nello spazio, in particolare nel punto di osservazione)*
In generale, si ha che $$
\mathbf{d}(\underline{r},\,t)=\int _{\mathbb{R}^4}g_{de}(\underline{r},\,\underline{r}',\,t,\,t')\,\mathbf{e}(\underline{r}',\,t') \ dV'\,dt'+\int _{\mathbb{R}^4} g_{db}(\underline{r},\,\underline{r}',\,t,\,t')\,\mathbf{b}(\underline{r}',\,t')\ dV'\,dt'
$$Siccome trattiamo mezzi lineari ed isotropi, $g_{de},\,g_{db}$ sono scalari o proporzionali al tensore identità. Sostituiamo la definizione di $\mathbf{e}$. In questo modo, la componente relativa al campo elettrico diventa $$
\mathbf{d}(\underline{r},\,t)\mathbf{\hat{e}}=\int _{\mathbb{R}^4} g_{de}(\underline{r},\,\underline{r}',\,t,\,t')\cdot\delta(\underline{r}-\underline{r}')\mathbf{\hat{r}}\cdot\delta(t-t')\mathbf{\hat{s}} \ dV'\,dt'
$$Separiamo ora l'integrazione nello spazio e nel tempo: $$
\mathbf{d}(\underline{r},\,t)\mathbf{\hat{e}}=\int _{\mathbb{R}^3}\delta(\underline{r}-\underline{r}')\left[ \int _{\mathbb{R}}g_{de}(\underline{r},\,\underline{r}',\,t,\,t')\cdot \delta(t-t')\mathbf{\hat{s}} \ dt' \right] \, dV'
$$Sapendo che, in generale, $\int _{\mathbb{R}}f(t')\cdot\delta(t-t') \, dt'=f(t)$ $$\begin{align}
\Rightarrow&\int _{\mathbb{R}}g_{de}(\underline{r},\,\underline{r}',\,t,\,t')\cdot\delta(t-t') \, dt'=g_{de}(\underline{r},\,\underline{r}',\,t,\,t) \\
\Longrightarrow\ &\mathbf{d}(\underline{r},\,t)\mathbf{\hat{e}}= \int_{\mathbb{R}^3}\delta(\underline{r}-\underline{r}')\cdot g_{de}(\underline{r},\,\underline{r}',\,t,\,t) \ dV'
\end{align}
$$
Analogamente a quanto già visto, si può risolvere quest'espressione e si ottiene $$
\mathbf{d}(\underline{r},\,t)\mathbf{\hat{e}}=g_{de}(\underline{r},\,\underline{r},\,t,\,t)
$$
Ovvero si ottiene **una funzione che dipende dai soli parametri spazio-temporali del punto di osservazione**.
*Banalmente abbiamo dimostrato che quando l'ingresso è un impulso, si ottiene la risposta all'impulso*.
## Esercizio 62
>Si scriva $\mathbf{d}$ in funzione di $\mathbf{e},\,\mathbf{b}$ per un mezzo lineare, isotropo e non dispersivo nello spazio
Siccome il mezzo è isotropo, dipende da un solo campo fondamentale. Supponiamo dipenda solo da $\mathbf{e}$ $$
\Rightarrow\mathbf{d}(\underline{r},\,t)=\int _{\mathbb{R}^4}g_{de}(\underline{r},\,t,\,t')\cdot \delta(\underline{r}-\underline{r}')\,\mathbf{e}(\underline{r}',\,t') \ dV'\,dt'
$$*Notiamo che nella forma della risposta all'impulso manca $\underline{r}'$ ed appare l'impulso perché per Hp il mezzo è non dispersivo nello spazio*.
Separiamo l'integrazione temporale da quella spaziale: $$\begin{split}
\mathbf{d}(\underline{r},\,t)&=\int _{\mathbb{R}}g_{de}(\underline{r},\,t,\,t')\left[ \int _{\mathbb{R}^3}\mathbf{e}(\underline{r}',\,t')\cdot \delta(\underline{r}-\underline{r}') \ dV' \right] \ dt'=\\
&=\int _{\mathbb{R}}g_{de}(\underline{r},\,t,\,t')\cdot \mathbf{e}(\underline{r},\,t) \ dt'
\end{split}
$$
Notiamo che per quanto riguarda lo spazio, $\mathbf{d}$ dipende solo da $\underline{r}$ e non da $\underline{r}'$. Questo perché abbiamo supposto che il mezzo fosse spazialmente non dispersivo. Ovviamente, lo stesso si avrebbe se il campo dipendesse da $\mathbf{b}$
## Esercizio 63
>Si scriva $\mathbf{h}$ in funzione di $\mathbf{e},\,\mathbf{b}$ per un mezzo lineare, isotropo e non dispersivo nel tempo
Come fatto nell'esercizio 62, supponiamo $\mathbf{h}$ non dipenda da $\mathbf{e}$. $$
\Rightarrow\mathbf{h}(\underline{r},\,t)=\int _{\mathbb{R}^4}g_{he}(\underline{r},\,\underline{r}',\,t,\,t')\cdot \delta(t-t')\,\mathbf{e}(\underline{r}',\,t') \ dV'\,dt'
$$
Spezziamo ora l'integrale: $$\begin{split}
\mathbf{h}(\underline{r},\,t)&=\int _{\mathbb{R}^3}g_{he}(\underline{r},\,\underline{r}',\,t)\left[ \int _{\mathbb{R}}\mathbf{e}(\underline{r}',\,t')\cdot \delta(t-t') \ dt' \right] \ dV'=\\
&=\int _{\mathbb{R}^3}g_{he}(\underline{r},\,\underline{r}',\,t)\,\mathbf{e}(\underline{r},\,t) \ dV'
\end{split}
$$
Notiamo dunque che **dipende solo dal valore del tempo dell'istante di osservazione**
## Esercizio 64
>Si scriva $\mathbf{j}_{d}$ in funzione di $\mathbf{e},\,\mathbf{b}$ per mezzi lineari, SND, TND e isotropi
Supponiamo che $\mathbf{j}_{d}$ dipenda solo da $\mathbf{e}$.
Se il mezzo è Spazialmente Non Dispersivo e Temporalmente Non Dispersivo, si ha che $$
g_{de}(\underline{r},\,\underline{r}',\,t,\,t')=g_{de}(\underline{r},\,t)\cdot \delta(\underline{r}-\underline{r}')\cdot \delta(t-t')
$$$$
\Longrightarrow \mathbf{j}_{d}=\int _{\mathbb{R}^4}g_{de}(\underline{r},\,t)\cdot \delta(\underline{r}-\underline{r}')\cdot \delta(t-t')\,\mathbf{e}(\underline{r}',\,t') \ dV'\,dt'
$$Notiamo che $g_{de}$ non dipende né da $\underline{r}'$ né da $t'$, pertanto lo si può portare fuori dall'integrale: $$
\mathbf{j}_{d}=g_{de}(\underline{r},\,t)\int _{\mathbb{R}^4}\delta(\underline{r}-\underline{r}')\cdot \delta(t-t')\,\mathbf{e}(\underline{r}',\,t') \ dV'\,dt'
$$
Se spezziamo l'integrale: $$\begin{split}
\mathbf{j}_{d}&=g_{de}(\underline{r},\,t)\int _{\mathbb{R}^3}\delta(\underline{r}-\underline{r}')\int _{\mathbb{R}}\delta(t-t')\,\mathbf{e}(\underline{r}',\,t') \ dt' \ dV' =\\
&=g_{de}(\underline{r},\,t)\int _{\mathbb{R}^3}\delta(\underline{r}-\underline{r}')\,\mathbf{e}(\underline{r}',\,t) \ dV'=\\
&=g_{de}(\underline{r},\,t)\,\mathbf{e}(\underline{r},\,t)
\end{split}
$$
Ne segue che se il mezzo è SND+TND, la risposta all'impulso **funge da funzione di proporzionalità**.
### caboc
## Esercizio 66
> Si scriva $\mathbf{h}$ in funzione dei campi fondamentali per un mezzo lineare, isotropo ed omogeneo nel tempo
Supponiamo $\mathbf{h}$ dipenda solo da $\mathbf{e}$.
Se omogeneo nel tempo, si ha che $$
g_{he}(\underline{r},\,\underline{r}',\,t,\,t')=g_{he}(\underline{r},\,\underline{r}',\,t-t')
$$$$
\Rightarrow \mathbf{h}(\underline{r},\,t)=\int _{\mathbb{R}^4} g_{he}(\underline{r},\,\underline{r}',\,t-t')\,\mathbf{e}(\underline{r}',\,t')\ dV'\,dt'
$$
## Esercizio 65
>Si scriva $\mathbf{d}$ in funzione dei campi fondamentali per un mezzo isotropo, lineare ed omogeneo nello spazio
La soluzione è uguale a quanto già trovato nell'esercizio 66 ma con $$
g_{de}(\underline{r},\,\underline{r}',\,t,\,t')=g_{de}(\underline{r}-\underline{r}',\,t,\,t')
$$
## Esercizio 67
>Si scriva $\mathbf{j}_{d}$ in funzione dei campi fondamentali per un mezzo isotropo, lineare ed omogeneo nello spazio e nel tempo
La soluzione è uguale a quanto già trovato nell'esercizio 66 ma con $$
g_{je}(\underline{r},\,\underline{r}',\,t,\,t')=g_{je}(\underline{r}-\underline{r}',\,t-t')
$$
## Esercizio 68
[[0. Esercizi#Esercizio 64]]